Valor numérico de un polinomio

En esta página encontrarás qué es y cómo se calcula el valor numérico de un polinomio. Además, podrás ver ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso del valor numérico de un polinomio.

¿Qué es el valor numérico de un polinomio?

En matemáticas, el valor numérico de un polinomio P(x) para el valor x=a, es decir P(a), es el resultado que se obtiene al sustituir la variable x del polinomio por el número a y hacer los cálculos indicados en la expresión del polinomio.

Para que puedas entender mejor el concepto del valor numérico de un polinomio, a continuación mostramos cómo se calcula con un ejemplo:

Cómo calcular el valor numérico de un polinomo

Ahora que ya sabemos la definición matemática del valor numérico de un polinomio, vamos a ver cómo determinar el valor numérico de un polinomio mediante un ejemplo:

  • ¿Cuál es el valor numérico del siguiente polinomio para x=2?

 P(x)=x^3+5x^2-4x+1

Para hallar el valor numérico del polinomio, tenemos que evaluar dicho polinomio en el valor dado por el problema, es decir, tenemos que sustituir la variable x del polinomio por el valor del enunciado. Por lo tanto, en este caso debemos sustituir la letra x por 2:

 P(2)=2^3+5\cdot 2^2-4\cdot 2+1

Y una vez hemos sustituido el valor en la expresión algebraica del polinomio, hacemos las operaciones. Así que primero resolvemos las potencias:

 P(2)=8+5\cdot 4-4\cdot 2+1

Ahora calculamos las multiplicaciones:

 P(2)=8+20-8+1

Y, finalmente, sumamos y restamos los términos:

 \bm{P(2)=21}

En conclusión, el valor numérico del polinomio para x=2 es igual a 21.

Como puedes comprobar, hallar el valor numérico de un polinomio no es muy complicado, sin embargo, tiene aplicaciones muy útiles. Por ejemplo, saber encontrar el valor numérico de un polinomio es imprescindible para poder usar el teorema del resto, un teorema muy importante sobre polinomios. Haz click en este enlace y descubre qué es el teorema del resto, allí encontrarás su explicación, ejemplos de cómo utilizarlo y ejercicios resueltos paso a paso.

Ejemplos de valores numéricos de polinomios

Para que acabes de comprender cómo sacar el valor numérico de un polinomio, te dejamos con más ejemplos resueltos:

Ejemplo 1

  • Calcula el valor numérico del polinomio P(x)=x^3-2x^2+3x+6 para x=-1.

 \begin{aligned} P(-1) & =(-1)^3-2\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+6 \\[2ex] & = -1-2\cdot 1+3\cdot (-1)+6 \\[2ex] & =-1-2-3+6 \\[2ex]&= \bm{0} \end{aligned}

En este caso, el valor numérico del polinomio es igual a 0. Esto tiene algunas consecuencias debido a las propiedades de los polinomios, ya que gracias al teorema del factor podemos saber cuál será el resto de algunas divisiones entre polinomios. Para saber más al respecto haz click en el enlace anterior, donde te explicamos qué es este teorema y para qué sirve.

Ejemplo 2

  • Determina el valor numérico del polinomio P(x)=-2x^3+7x^2-8x-2 para x=3.

 \begin{aligned} P(3) & =-2\cdot 3^3+7\cdot 3^2-8\cdot 3-2 \\[2ex] & =-2\cdot 27+7\cdot 9-8\cdot 3-2 \\[2ex] & =-54+63-24-2 \\[2ex]&= \bm{-17} \end{aligned}

Hasta ahora hemos visto solamente cómo se determina el valor numérico de un polinomio de la manera clásica, pero debes saber que existe otro método. En concreto, también se puede calcular el valor numérico de un polinomio con el método de Ruffini. Este procedimiento también deberías saber utilizarlo, así que te recomendamos que veas su explicación detallada en el enlace.

Valor numérico de un polinomio con dos o más variables

Acabamos de ver cómo hallar el valor numérico de un polinomio cuando este tiene una única variable. Pero… ¿cómo se saca el valor numérico de un polinomio cuando tiene más de una variable?

Pues bien, si un polinomio tiene 2 o más letras, se debe calcular su valor numérico de la misma manera, esto es, primero se sustituye cada variable del polinomio por su valor correspondiente y luego se resuelven las operaciones polinómicas.

A modo de ejemplo tienes a continuación un problema de este tipo resuelto:

  • Halla el valor numérico del polinomio multivariable P(x,y)=x^2y+4xy-2x^2+6y-5 para los valores x=2, y=3.

Primero de todo, sustituimos cada variable por su valor correspondiente, es decir, sustituimos la letra x por 2 y cambiamos la letra y por 3:

P(2,3)=2^2\cdot 3+4\cdot 2\cdot 3-2\cdot 2^2+6\cdot 3-5

Resolvemos las potencias:

P(2,3)=4\cdot 3+4\cdot 2\cdot 3-2\cdot 4+6\cdot 3-5

Ahora calculamos los productos:

P(2,3)=12+24-8+18-5

Y, por último, hacemos las sumas y las restas:

\bm{P(2,3)=41}

De forma que el valor numérico del polinomio para los datos del enunciado es equivalente a 41.

Ejercicios resueltos del valor numérico de un polinomio

Ejercicio 1

¿Cuál es el valor numérico del polinomio P(x) para x=-2?

 P(x)=-2x^3-4x^2+3x+8

Para encontrar el valor numérico del polinomio simplemente tenemos que sustituir el valor dado en el enunciado en la expresión polinómica y resolver las operaciones resultantes:

 \begin{aligned} P(-2) & =-2\cdot (-2)^3-4\cdot (-2)^2+3\cdot (-2)+8 \\[2ex] & =-2\cdot (-8)-4\cdot 4+3\cdot (-2)+8 \\[2ex] & =+16-16-6+8 \\[2ex]&= \bm{2} \end{aligned}

 

Ejercicio 2

Calcula el valor numérico del siguiente polinomio con fracciones para x=4.

 P(x)=\cfrac{1}{2} x^2-\cfrac{5}{4}x + 7

Independientemente de si el polinomio tiene fracciones o no, el procedimiento para hallar el valor numérico del polinomio siempre es el mismo. Por lo que debemos sustituir la variable x por 4 y resolver los cálculos:

 \begin{aligned} P(4) & =\cfrac{1}{2} \cdot 4^2-\cfrac{5}{4}\cdot 4+ 7 \\[2ex] & =\cfrac{1}{2} \cdot 16-\cfrac{5}{4}\cdot 4+ 7\\[2ex] & =8-5+7 \\[2ex]&= \bm{10} \end{aligned}

 

Ejercicio 3

Determina el valor numérico del polinomio para los valores x=3, y=5 y z=-2

 P(x,y,z)=x^2yz+4y^2z^2-3x^2z+6xyz

Para determinar el valor numérico del polinomio multivariable tan solo debemos sustituir los valores dados en el problema en la expresión algebraica y resolver las operaciones resultantes:

 \begin{aligned} P(3,5,-2) & =3^2\cdot 5\cdot (-2)+4\cdot 5^2\cdot (-2)^2-3\cdot 3^2\cdot (-2)+6\cdot 3\cdot 5 \cdot (-2) \\[2ex] & =9\cdot 5\cdot (-2)+4\cdot 25\cdot 4-3\cdot 9\cdot (-2)+6\cdot 3\cdot 5 \cdot (-2) \\[2ex] & =-90+400+54-180\\[2ex]&= \bm{184} \end{aligned}

 

Ejercicio 4

Dado el polinomio P(x)= -2x^3-3x^2+5x+k calcula el valor del parámetro k para que P(-2)=5.

En este problema, para hallar el valor de la incógnita k debemos resolver la ecuación P(-2)=5.

 P(-2)=5

Por lo tanto, primero intentamos calcular el valor de P(-2):

 \begin{aligned} P(-2) & =-2\cdot (-2)^3-3\cdot (-2)^2+5\cdot (-2)+k \\[2ex] & =-2\cdot (-8)-3\cdot 4+5\cdot (-2)+k \\[2ex] & =+16-12-10+k\\[2ex]&=-6+k \end{aligned}

Ahora igualamos la expresión obtenida a 5:

 P(-2)=5

 -6+k=5

Y, para terminar, resolvemos la ecuación resultante:

 k=5+6

 \bm{k=11}

 

42 comentarios en “Valor numérico de un polinomio”

  1. Rosalinda Sánchez

    hola me pueden ayudar en esta tarea es que no le entiendo Qué es el valor numérico de un polinomio pide esto alguien me puede ayudar por favor

    1. Hola Rosalinda, tienes la definición de valor numérico de un polinomio al principio de esta entrada. 👍

  2. Hola, si hay 2 variables y entre medio tiene un signo de más o menos se sustituye por signo de multiplicación? Ejemplo a²b²(a+b) a= 5 b =2

    1. Hola Mariano, la respuesta es no, si hay un signo de suma o de resta no se puede sustituir por un signo de multiplicación. Sin embargo, cuando dos variables están juntas sin ningún signo de por en medio, sí que se deben multiplicar.

      De manera que el resultado del ejercicio que propones sería:
      a^2b^2(a+b)\ \xrightarrow{a=5 \ ; \ b=2} 5^2\cdot2^2\cdot(5+2)=25\cdot 4\cdot 7 =700

  3. Hola, me gustaría si me pudieran ayudar en este problema siguiente:

    Del siguiente polinomio P(x+1)=x^2+mx+n
    Se sabe que su término independiente es 2
    y la suma de sus coeficientes es 5.
    Calcule P(2)

    1. Hola Jorge, te resolvemos el problema a continuación:

      Si el término independiente es 2, la incógnita n debe ser 2. Ya que n no está acompañada por ninguna variable y, por tanto, es el término independiente del polinomio.
      n=2

      Por otro lado, si la suma de los coeficientes del polinomio es 5, podemos hallar el valor de m a partir de la siguiente ecuación:
      1+m+2=5
      m=5-2-1
      m=2

      Pero el polinomio está expresado de una manera poco común, de manera que si queremos encontrar P(2) la x será:
      P(x+1)=P(2)
      x+1=2
      x=2-1
      x=1

      Entonces, a partir de la expresión dada del polinomio, podemos calcular el valor numérico de la siguiente manera:
      P(x+1)=x^2+2x+2 \ \xrightarrow{x\ = \ 1} \ P(2)=1^2+2\cdot1+2=5

  4. hola necesito las respuestas de muchos ejercicios es que no entiendo ni un poco a eso a este ayúdenme porfavor si w=3,x =-4,y = 1,z=5
    Q(y) = -8y + 12
    R(w) = 5w a la 3 + 4w
    S(z) = 4z + 4
    P(x) = 3x a la 2 + 5x -7
    A(x,y)= x a la 2-2xy + y a la 2
    G(w,z) = w a la 2 -5wz a la 2 +5
    H(w,x,y)= 2w a la 3 xy a la 4 – 3x
    K(x,y,z)=5x a la 2 + 4xy – 2xz a la 2 -1
    No se si le entienden a lo que me refiero ayúdenme expertos porfa!!!

    1. Hola Ingri, te resolvemos todos los ejercicios propuestos a continuación. Simplemente debes sustituir los valores dados en el ejercicio en los polinomios:
      Q(1) = -8·1 + 12 = 4
      R(3) = 5·33 + 4·3 = 5·27 + 12 = 147
      S(5) = 4·5 + 4 = 20 + 4 =24
      P(-4) = 3·(-4)2 + 5·(-4) -7 = 3·16 – 20 – 7 = 21
      A(-4,1) = (-4)2 – 2·(-4)·1 + 12 = 16 + 8 +1 = 25
      G(3,5) = 32 – 5·3·52 + 5 = 9 – 5·3·25 + 5 = 9 – 375 + 5 = -361
      H(3,-4,1) = 2·33·(-4)·14 – 3·(-4) = -216 + 12 = -204
      K(-4,1,5)=5·(-4)2 + 4·(-4)·1 – 2·(-4)·52 -1 = 80 -16 + 200 = 264

    1. Hla Yohana, aunque los valores sean fracciones, el valor numérico de un polinomio se calcula de la misma manera: se debe sustituir los valores de x e y en el polinomio y luego se deben resolver las operaciones resultantes. Por tanto:

      \begin{array}{l}\displaystyle\left(\frac{-3}{6}\right)^3+\cfrac{\displaystyle\left(\frac{5}{4}\right)^3}{\displaystyle \frac{-3}{6}\cdot \frac{5}{4}}=\frac{(-3)^3}{6^3}+\cfrac{\displaystyle\frac{5^3}{4^3}}{\displaystyle \frac{-3\cdot 5}{6\cdot 4}}=\\[8ex]= \displaystyle\frac{-27}{216}+\cfrac{\displaystyle\frac{125}{64}}{\displaystyle \frac{-15}{24}}=\displaystyle\frac{-27}{216}+\frac{125\cdot 24}{64 \cdot (-15)}=\\[8ex]=\displaystyle\frac{-27}{216}+\frac{3000}{-960}=\frac{-1}{8}-\frac{50}{16}=\\[8ex]=\displaystyle \frac{-2}{16}-\frac{50}{16}=-\frac{52}{16}=-\frac{13}{4}\end{array}

    1. Te mostramos el cálculo del valor numérico del polinomio a continuación:
      (-1)^2-3\cdot(-1)+4=1+3+4=8

  5. Me gustaria que porfavor me ayudaran con el valor numerico de cada polinomio.
    3x²y-5xy²+x-3y+2
    -2x+3y-5z+2/3
    -x+(-y)+-z+2x
    -(-z)+½x-3y

    1. Hola Yelica, faltan los valores en los que se deben calcular los valores numéricos de los polinomios.
      Si nos das los valores del ejercicio, te ayudaremos encantados.

    1. Hola Adeline, para resolver este problema debes sustituir los valores dados de las variables en la expresión del polinomio:
       P(2,1)=6\cdot 2^3-3\cdot 1^2+9\cdot 2= 6\cdot 8-3+18=63

  6. Me puedes ayudar con esto? Calcule el valor de E para cada caso :
    P(×, y, z) =2(×-3)(y+2(z-1))
    E=p(1,2,3)-p(3,-1-3)

    1. Hola Mili, para resolver este problema de polinomios, primero debes calcular el valor numérico de cada polinomio:
      P(1,2,3)=2\cdot (1-3)\cdot \bigl(2+2(3-1)\bigr)=4\cdot 6 = 24
      P(3,-1,-3)=2\cdot (3-3)\cdot \Bigl(-1+2\bigl(3-(-3)\bigr)\Bigr)=0\cdot 11=0

      Y luego debes restar los valores obtenidos:
      E=P(1,2,3)-P(3,-1-3)=24-0=24

    1. Primero calculamos el valor numérico del polinomio en cada valor de x:
       P(1)=2\cdot1 -4=-2
       P(2)=2\cdot 2-4=0

      Y luego hallamos el valor de A sumando los dos resultados obtenidos:
      A=-2+0=-2

    1. Primero de todo, resolvemos el valor numérico del polinomio por los valores de x e y dados:
      P(2,3)=2\cdot 2\cdot 3-2+3\cdot 3=12-2+6=16
      P(0,1)=2\cdot 0\cdot 1-0+3\cdot 1=3

      Y finalmente calculamos el valor de la incógnita A:
      A=16+3=19

    1. En este caso el cálculo de los valores numéricos se hace con una incógnita:
      P(a+2)=3(a+2)+5=3a+6+5=3a+11
      P(a-2)=3(a+2)+5=3a-6+5=3a-1

      Por lo tanto, para hallar M tenemos que hacer las operaciones arrastrando la variable a:
      M=P(a+2)-P(a-2)=3a+11-(3a-1)=3a+11-3a+1=12

    1. Hola Rosario,

      En este caso, el valor numérico del polinomio no depende del valor de la variable x, ya que el valor numérico siempre es igual a 15.
      Por lo tanto, P(2) también es 15.

  7. Marion Alejandra

    Me pueden ayudar con esta tarea 🙏

    Calcula el valor numérico (en caso de que exista) de las expresiones algebraicas siguientes.
    a) x + y,para x=5; y=7
    b)3n -m³,para n=1/3;m=-3
    c)ac²-8/3b, para a=2;b=5;c=-1
    d)2x√x³+2b , para x=3;b=-1

    Tengo que entregar esta tarea hoy por favor y gracias🙏

    1. Por supuesto Marion, esta es una página de ayuda a las matemáticas. 🙂

      a) 5+7=12

      b) 3\cdot \cfrac{1}{3}-3^3=1-27=-26

      c) 2\cdot (-1)^2-\cfrac{8}{3\cdot 5}=2-\cfrac{8}{15}=\cfrac{22}{15}

      d) 2\cdot 3\cdot \sqrt{3^3}+2\cdot (-1)=6\sqrt{27}-2=6\cdot 3\sqrt{3}-2= 18\sqrt{3}-2

      En este caso existe el valor numéricos de todas las expresiones algebraicas.

  8. Hola estoy media perdida con este tema me gustaría si me pueden explicar esta actividad
    8+2×-3×’2+4×’3
    Dice que tengo que calcular el valor numerico dice que el x es 2 pero no me acuerdo como era

    1. Hola Ana, simplemente tienes que sustituir x por 2 en el polinomio y resolver las operaciones:

      8+2\cdot 2-3\cdot 2^2+4\cdot 2^3=8+4-12+32=32

  9. ante todo buenas tarde, por favor habrá posibilidades en ayuda con el valor numérico del polinomio P(x) = 3×2-5x+2 hallar el valor nemerico X=2- se le agradece.

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