Binomios

En esta página encontrarás la explicación de qué es un binomio y, además, podrás ver ejemplos de cada tipo de binomio. También, te mostramos las fórmulas que sirven para resolver operaciones con binomios: multiplicación de binomios, binomio al cuadrado, binomio al cubo,…

¿Qué es un binomio?

En álgebra, la definición de un binomio es la siguiente:

Un binomio es un polinomio formado solamente por dos monomios. Es decir, un binomio consiste en una expresión algebraica con únicamente 2 términos diferentes que están unidos por el signo más (+) o el signo menos (-).

qué son los binomios

La palabra binomio proviene del griego y está compuesta por dos componentes léxicos (bi y nomos), que significan lo siguiente:

  • bi: prefijo que significa 2.
  • nomos: quiere decir parte.

De ahí se puede deducir el significado de binomio: polinomio con dos partes (o 2 monomios).

Por otro lado, el concepto de binomio tiene otro significado aparte del matemático, y es que un binomio también se pude referir a un conjunto de dos personalidades que tienen un papel destacado en la vida política, en alguna disciplina deportiva o incluso en el espectáculo. Pero, evidentemente, aquí nos centraremos en la definición matemática del binomio.

Ejemplos de binomios

Para acabar de entender el concepto de un binomio, vamos a ver varios ejemplos de este tipo de polinomio:

  • Ejemplo de un binomio de segundo grado:

 x^2+4x

  • Ejemplo de un binomio de tercer grado:

 x^3+5

  • Ejemplo de un binomio de cuarto grado:

 3x^4+8x^2

Ahora que ya sabemos en qué consiste un binomio, vamos a ver los diferentes tipos de binomios que hay y cómo se resuelven las operaciones con binomios.

Binomio al cuadrado

Un binomio elevado al cuadrado se trata de una identidad notable, también conocida como producto notable o igualdad notable. Para resolver la potencia de un binomio elevado a la 2 depende de si este es un binomio suma o un binomio diferencia.

Un binomio suma se refiere a aquel binomio cuyos dos términos son positivos, es decir, un binomio suma al cuadrado es:

 (a+b)^2

En cambio, un binomio diferencia (o resta) es el conjugado del binomio suma, esto es, uno de sus monomios tiene signo negativo. Por lo tanto, la expresión algebraica de un binomio diferencia al cuadrado es:

 (a-b)^2

Para poder calcular un binomio al cuadrado se debe aplicar una fórmula que, como hemos visto, varia en función de si es una suma o una resta. Descubre cómo se hace en las fórmulas de las igualdades notables, donde podrás ver toda la explicación paso a paso junto con ejemplos y ejercicios resueltos, y no solo de estas 2 igualdades notables sino de todas.

Binomio al cubo

Aunque estos se utilizan menos a menudo, los binomios elevados al cubo también se consideran productos notables. O dicho con otras palabras, existen reglas matemáticas que permiten hallar el cubo de un binomio de manera rápida (puedes verlas en el enlace de arriba de las fórmulas de las identidades notables).

Al igual que antes, el resultado de esta potenciación depende de si se trata del cubo de una suma:

 (a+b)^3

O si, por el contrario, la potencia consiste en el cubo de un diferencia o resta:

 (a-b)^3

Lógicamente, la principal diferencia entre un binomio al cuadrado y un binomio al cubo es el exponente de la potencia. Sin embargo, la fórmula de un binomio al cubo es bastante más complicada respecto a la de un binomio al cuadrado.

Binomios notables

Hay algunos tipos de binomios en concreto que son un poco peculiares debido a sus características, ya que corresponden a unas identidades notables (o productos notables) menos conocidas.

  • Suma de cuadrados:  a^2+b^2
  • Diferencia (o resta) de cuadrados:  a^2-b^2
  • Suma de cubos:  a^3+b^3
  • Diferencia (o resta) de cubos:  a^3-b^3

Donde a y b son dos monomios cualesquiera.

Aunque estas expresiones binomiales parecen muy similares a las que hemos visto justo arriba (binomio al cuadrado y binomio al cubo), si te fijas bien son distintas. En este sentido, también puedes ver las fórmulas de los binomios notables y sus deducciones haciendo click en el enlace de arriba de las ⬆ fórmulas de las identidades notables.⬆

Multiplicación de binomios

Una de las operaciones con binomios más habituales es la multiplicación. Así pues, a continuación vamos a ver con un ejemplo de cómo se calcula una multiplicación entre binomios.

 (x^2+2x)\cdot (x-5)

Para calcular la multiplicación binomial primero tenemos que multiplicar cada término del primer binomio por cada término del segundo binomio:

 x^2\cdot x+x^2\cdot (-5)+2x\cdot x +2x\cdot (-5)

 x^3-5x^2+2x^2 -10x

Luego agrupamos los términos semejantes, es decir, que tienen la misma parte literal:

 \bm{x^3-3x^2 -10x}

Y de esta forma hemos conseguido hallar el resultado del producto entre binomios.

Producto de dos binomios con un término común

Cuando los binomios que participan en la multiplicación tienen como término en común la variable x, existe una fórmula para calcular rápidamente este operación binomial:

 (x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab

A continuación te mostramos un ejercicio resuelto para que puedas ver comó aplicar esta fórmula:

 \begin{aligned} (x+4)(x+5) &= x^2+(4+5)x+4\cdot 5 \\[2ex] & = x^2+9x+20 \end{aligned}

Binomio de Newton

El binomio de Newton, también llamado teorema del binomio, es una fórmula que sirve para calcular potencias de binomios.

La fórmula matemática del binomio de Newton es la siguiente:

 \displaystyle \left( a+b\right)^n = & \sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k\end{pmatrix}x^{n-k}y^k

O equivalentemente:

 \left( a+b\right)^n =\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} \right)a^n b^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1}b^{1} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2}b^{2} + \dots + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a^0 b^{n}

Como puedes comprobar, esta fórmula es un poco compleja de entender. Por eso a continuación hemos hecho las potencias de los binomios de grado más bajo para que puedas comprenderla mejor:

formula del teorema del binomio de newton

Esta fórmula puede resultar un poco tediosa para calcular binomios al cuadrado o al cubo, ya que, tal y como hemos visto más arriba, existen fórmulas más sencillas. Sin embargo, el binomio de Newton es muy útil para hallar potencias de grado mayor, por ejemplo, se usa mucho para determinar un binomio a la cuarta.

Pero para poder aplicar esta fórmula debes saber cómo calcular un número combinatorio, es decir la expresión algebraica del tipo \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}, cálculo nada fácil. 🔍 Por eso te recomendamos que busques cómo se hace en nuestro buscador de arriba a la derecha 🔎, encontrarás nuestro artículo donde explicamos paso por paso esta operación.

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