Diferencia (o resta) de cuadrados

En esta página encontrarás la fórmula de la diferencia (o resta) de dos cuadrados perfectos. También explicamos cómo se factorizan las diferencias de cuadrados y, además, podrás ver varios ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

¿Qué es una diferencia de cuadrados?

En matemáticas, el concepto de diferencia de cuadrados, o resta de cuadrados, se refiere a dos términos cuya raíz cuadrada es exacta y, además, se están restando. Es decir, la expresión algebraica de una diferencia de cuadrados es a2-b2.

Además, la diferencia de dos cuadrados corresponde a uno de los productos notables (o identidades notables), por eso es tan importante.

Fórmula de la diferencia de cuadrados

La fórmula de la identidad notable de una diferencia de dos cuadrados perfectos es la siguiente:

diferencia de cuadrados dif

Por lo tanto, la diferencia de los cuadrados de dos cantidades es igual al producto de la suma por la diferencia de esas dos cantidades.

Así pues, la fórmula de la resta de dos cuadrados perfectos tiene distintas aplicaciones en álgebra. En primer lugar, se puede utilizar para simplificar expresiones polinómicas. Pero, sobre todo, sirve para factorizar algunos tipos de binomios, en el siguiente apartado te explicamos cómo se hace paso a paso.

Aunque tienen nombres similares, no debes confundir la diferencia de cuadrados con el cuadrado de una diferencia, ya que son identidades notables diferentes. Si tienes alguna duda, te recomendamos que veas estos ejemplos del cuadrado de una diferencia, aquí verás la fórmula de esta identidad notable, cómo se aplica y cuáles son las diferencias respecto a la diferencia de cuadrados.

Factorización de una diferencia de cuadrados

Se pueden factorizar las diferencias de cuadrados fácilmente a partir de su fórmula.

Pero, evidentemente, para poder entender bien el procedimiento debes saber qué es factorizar polinomios. Por si aún no sabes en qué significa factorizar un polinomio, antes de continuar leyendo es mejor que le eches un vistazo a la página enlazada, donde se explica detalladamente.

Así pues, para factorizar una diferencia de 2 cuadrados se debe seguir el siguiente proceso:

  1. Se calcula la raíz cuadrada de los dos términos.
  2. Se multiplica la suma por la resta de las dos raíces halladas en el paso anterior.

Veamos mejor cómo se factoriza una resta de cuadrados mediante un ejemplo:

  • Factoriza la siguiente diferencia de cuadrados:

 x^2 - 9

Lógicamente, antes de aplicar el procedimiento que hemos visto, debemos asegurarnos de que se trata de una diferencia de cuadrados. En este caso tanto x^2 como 9 son cuadrados perfectos (tienen raíces exactas) y uno tiene signo negativo, por lo que efectivamente consiste en una diferencia de cuadrados.

Ahora tenemos que calcular la raíz cuadrada de cada elemento:

 \sqrt{x^2} = x

 \sqrt{9} = 3

Por último, simplemente tenemos que formar dos binomios con las raíces calculadas: un binomio en el que las raíces se sumen y otro binomio en el que se resten. Y luego multiplicamos esos dos binomios:

 (x+3)\cdot (x-3)

De esta forma ya hemos factorizado la diferencia de cuadrados del problema en el producto de una suma por una diferencia.

 x^2-9=(x+3)\cdot (x-3)

Ejemplos de diferencias de cuadrados

Para que puedas comprender del todo cómo se factorizan las diferencias de cuadrados, a continuación te dejamos con varios ejemplos resueltos:

Ejemplo 1

 4x^2-25

En este ejercicio las raíces cuadradas de los dos términos del binomio son:

 \sqrt{4x^2} = 2x

 \sqrt{25} = 5

Así que solo nos queda multiplicar la suma por la diferencia de las dos raíces encontradas:

 (2x+5)\cdot (2x-5)

Ejemplo 2

 x^4- 16x^2

Primero de todo calculamos las raíces cuadradas de los dos elementos:

 \sqrt{x^4} = x^2

 \sqrt{16x^2} = 4x

Por tanto, el polinomio factorizado es:

 (x^2+4x)\cdot (x^2-4x)

Ahora que ya has visto diferentes ejemplos de restas de cuadrados, te proponemos varios ejercicios resueltos paso a paso. ¡A ver si eres capaz de hacerlos todos bien! 😉

Ejercicios resueltos de diferencias de cuadrados

Factoriza las siguientes restas de cuadrados:

 \text{A)} \ x^2-36

 \text{B)} \ x^2-100

 \text{C)} \ 9x^2-64

 \text{D)} \ 25x^4-4

 \text{E)} \ x^6-49x^4

 \text{A)} \ x^2-36 = (x+6) (x-6)

 \text{B)} \ x^2-100 = (x+10)(x-10)

 \text{C)} \ 9x^2-64 = (3x+8)(3x-8)

 \text{D)} \ 25x^4-4 =(5x^2+2)(5x^2-2)

 \text{E)} \ x^6-49x^4 =(x^3+7x^2)(x^3-7x^2)

 

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