Función factorial de un número

En esta página se explica qué es el factorial de un número y cómo se calcula. Además, se muestran varios ejemplos y una tabla con los valores de los factoriales más utilizados. También se enseña cómo calcular el factorial de un número con la calculadora. Y, finalmente, se ilustran las aplicaciones y las propiedades de los factoriales.

¿Qué es el factorial de un número?

En matemáticas, el factorial de un número es igual al producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta dicho número. Además, el factorial de un número se representa con un signo de exclamación (!) detrás del número.

factorial de un numero

Por ejemplo, para determinar el factorial del número n, también llamado n factorial, tenemos que multiplicar el número n por todos los números enteros anteriores a él (empezando por el uno):

 n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n

Cómo calcular el factorial de un número

Una vez hemos visto el significado del factorial de un número, vamos a ver con un ejemplo de cómo determinar cualquier factorial:

  • Calcula el factorial de 4:

Tal y como hemos visto en su definición matemática, el factorial de un número es equivalente a la multiplicación de todos los números enteros positivos menores o iguales que él. Por lo tanto, para calcular el factorial de 4 tenemos que multiplicar los números 1, 2, 3 y 4:

 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 =24

De modo que el factorial de 4 da como resultado 24.

Ejemplos de factoriales de números

Para acabar de entender el concepto de factorial de un número, te dejamos como ejemplo el cálculo de varios factoriales de diferentes números:

  • Factorial de 3:

 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 =6

  • Factorial de 5:

 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=120

  • Factorial de 6:

 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6=720

  • Factorial de 1:

 1! = 1

Lógicamente, el factorial del número 1 es igual a 1, ya que solamente se debe multiplicar el 1.

  • Factorial de 0:

 0! = 1

Sí, está bien, sorprendentemente el factorial de 0 no es igual a cero, sino a 1. Esto puede parecerte un poco raro, porque en teoría se debería multiplicar 0 por 1. Sin embargo, se adopta por convenio que 0!=1 debido a la propiedad del producto vacío. Te dejamos este enlace por si quieres saber más al respecto, aunque realmente no es relevante que sepas el motivo, lo importante es que recuerdes que el factorial de 0 es igual a 1.

Lista de resultados de factoriales de números

A continuación, hemos resumido en una tabla los factoriales de los números más utilizados, para que así no tengas que calcularlos tú a mano.

NúmeroFactorial del número
01
11
22
36
424
5120
6720
75 040
840 320
9362 880
103 628 800
1139 916 800
12479 001 600
136 227 020 800
1487 178 291 200
151 307 674 368 000
1620 922 789 888 000
17355 687 428 096 000
186 402 373 705 728 000
19121 645 100 408 832 000
202 432 902 008 176 640 000
503,041 409 320 · 1064
1009,332 621 544 · 10157
1 0004,023 872 601 · 102 567
10 0002,846 259 681 · 1035 659
100 0002,824 229 408 · 1045 6573
1 000 0008,263 931 688 · 105 565 708

Factorial de un número con la calculadora

Como puedes comprobar en los ejemplos anteriores, los resultados de los factoriales de dos números consecutivos crecen exponencialmente, por eso resulta bastante difícil averiguar el factorial de números grandes. Así que te vamos a enseñar cómo se puede hallar el factorial de un número con la calculadora.

Las calculadoras científicas tienen una tecla con el símbolo x! o n! que sirve para calcular el factorial de un número entero. Entonces, para encontrar cuánto vale un factorial se debe hacer la siguiente secuencia en la calculadora:

 n! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} n\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=}

Normalmente, las calculadoras CASIO tienen la tecla del factorial x! o n! encima del botón x-1.

A modo de ejemplo, vamos a resolver un factorial con la calculadora para que puedas verificar que sabes hacerlo. Por ejemplo, vamos a hacer el factorial de 9:

 9! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} 9\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=} \rightarrow 362880

Para encontrar el factorial de 9 primero debemos introducir el número 9, luego pulsar la tecla \boxed{x!} y, finalmente, pulsar el botón igual. En este caso, la calculadora debería mostrarnos el resultado de 362 880.

Aplicaciones del número factorial

La función factorial de un número puede parecer una operación muy sencilla y absurda, pero en álgebra avanzada se utiliza bastante. A continuación vamos a ver los principales usos del factorial.

En primer lugar, el factorial es una operación imprescindible para calcular un número combinatorio, una operación más que peculiar. Si no sabes qué es el número combinatorio, puedes ver en qué consiste y cómo se calcula en este enlace, donde encontrarás ejemplos, ejercicios resueltos y cuáles son sus propiedades. Además, podrás ver para qué se usa ya que tiene muchas aplicaciones reales.

El factorial también se usa en matemáticas para determinar el polinomio de Taylor de un función.

Asimismo, el factorial sirve para resolver algunos problemas de combinatoria, en concreto se usa para calcular combinaciones y permutaciones. En este sentido, también se suelen emplear los factoriales para calcular probabilidades a través de la combinatoria.

Una permutación de n elementos corresponde a cada una de las diferentes ordenaciones que se pueden hacer con esos elementos. Entonces, para calcular una permutación se usa el factorial. Por ejemplo, si en un problema se quiere hallar el número de posibilidades en que se pueden ordenar 7 objetos, se debe calcular el factorial de 7.

Veamos ahora un ejercicio resuelto:

  • Tenemos 5 pares de zapatos distintos, ¿de cuántas maneras los podemos ordenar?

En este ejercicio tenemos que averiguar todas las maneras posibles en las que estos 5 pares de zapatos se pueden combinar teniendo en cuenta el orden en el que los ponemos. De manera que para solucionar el problema basta con calcular el factorial de 5:

 5! = 1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5 =120

En definitiva, los 5 pares de zapatos se pueden colocar de 120 maneras diferentes.

Propiedades del número factorial

El número factorial cumple con las siguientes características:

  • Siendo dos números enteros positivos n y m tal que n es mayor que m, entonces, evidentemente el valor del factorial de n es más grande que el valor del factorial de m.

 n>m \quad \longrightarrow \quad n! > m!

  • El factorial de un número se puede descomponer factorialmente de manera que uno de los factores sea el factorial de un número más pequeño.

 n>m \quad \longrightarrow \quad n!= n\cdot (n-1) \cdots (m+1)\cdot m!

Por ejemplo, 6 es mayor que 4, por tanto, se puede simplificar la expresión del factorial de 6 de la siguiente manera:

 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4!

  • La siguiente expresión algebraica se cumple para el factorial de cualquier número, excepto por el factorial de 1:

 \displaystyle n!< \left( \frac{n+1}{2} \right)^n

Factorial de un número negativo o decimal

Acabamos de ver cómo hallar el valor del factorial de un número entero y positivo, pero… ¿se puede calcular el factorial de un número negativo o de un número decimal? La respuesta es sí, pero se necesitan conocimientos de matemáticas avanzadas.

El factorial de un número negativo y de un número decimal se calcula a través de una función especial llamada «función Gamma» de Euler, que se define por la siguiente integral:

 \displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t

Entonces, se puede resolver cualquier tipo de factorial con la función Gamma porque siempre se cumple la siguiente ecuación:

 n! = \Gamma(n+1)

De forma que para hallar el factorial de 0,5, por ejemplo, se tiene que encontrar el valor de  \Gamma(1,5) ya que:

 0,5! = \Gamma(0,5+1) =\Gamma(1,5)

Y la solución de la integral corresponderá al factorial de 0.5.

Obviamente, resolver la integral de la función Gamma no es nada fácil y no lo enseñaremos en este artículo, porque previamente se tendrían que explicar muchos conceptos matemáticos. Pero queríamos que supieses que sí que existe la posibilidad de calcular el factorial de un número negativo o de un número decimal.

De hecho, para que te sirvan como ejemplos, hemos calculado algunos valores de factoriales negativos y decimales:

 \underline{\bm{n}}  \underline{\bm{n!}}
 \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!  \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\pi}
 \displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)!  \displaystyle \sqrt{\pi}
      \displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)!             \displaystyle \frac{3}{4}\sqrt{\pi}     
 \displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)!  \displaystyle \frac{15}{8}\sqrt{\pi}

4 comentarios en “Función factorial de un número”

  1. Perdone, pero tienen errores en las imágenes de el apartado: EJEMPLOS DE FACTORIALES DE NÚMEROS. Ponen «Factorial de 8: 5!= 1*2*3*4*5*6=720»,
    siendo:
    ·el factorial de 5: 5!=1*2*3*4*5
    ·720=6!=1*2*3*4*5*6
    ·el factorial de 8: 8!=1*2*3*4*5*6*7*8
    Gracias.

    1. ¡Cierto David! Había un error, en lugar de factorial de 8 tenía que poner factorial de 6 ya que en ese ejemplo se calcula el factorial de 6. Ya lo hemos corregido.
      ¡Muchas gracias por avisar! 🙂

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