Grado de un polinomio

En esta página explicamos qué es el grado de un polinomio (grado absoluto y grado relativo) y cómo saber cuál es el grado de un polinomio. También podrás ver varios ejemplos de cómo se determina el grado de un polinomio y, además, encontrarás cómo se clasifican los polinomios según su grado.

¿Qué es el grado de un polinomio?

La definición de grado de un polinomio es la siguiente:

En matemáticas, el grado de un polinomio es el mayor exponente al que está elevada la variable del polinomio.

Por ejemplo, el siguiente polinomio es de grado 5 porque el valor máximo de los exponentes de sus términos es 5:

 P(x) = x^5+2x^4+6x^2-3

Aunque parece un concepto muy simple, saber identificar el grado de un polinomio es imprescindible para poder sumar y restar polinomios correctamente. Descubre por qué es tan importante en los ejemplos de sumas de polinomios y ejemplos de restas de polinomios, donde, además, podrás practicar con ejercicios resueltos de estos dos tipos de operaciones con polinomios.

Ejemplos de grados de polinomios

Una vez ya sabemos cómo identificar el grado de un polinomio, veamos más ejemplos para acabar de entender su significado:

  • Ejemplo de polinomio de grado cero:

 P(x) = 4

  • Ejemplo de polinomio de primer grado:

 P(x) = 3x+2

  • Ejemplo de polinomio de segundo grado:

 P(x) = x^2+7x-4

  • Ejemplo de polinomio de tercer grado:

 P(x) = 2x^3+5x^2-9

  • Ejemplo de polinomio de cuarto grado:

 P(x) = 6x^4+3x^2-7x+1

¿Cómo saber el grado de un polinomio con dos o más variables?

Acabamos de ver cómo se determina el grado de un polinomio univariable, es decir, que tiene una única variable. Sin embargo, ¿cuál es el grado de un polinomio multivariable?

En álgebra, existen dos tipos de grados de polinomio cuando este tiene más de una variable:

  • Grado absoluto: el grado absoluto corresponde al grado máximo de los monomios que forman el polinomio
  • Grado relativo: el grado relativo respecto una determinada variable corresponde al exponente más grande de dicha variable.

Evidentemente, para poder determinar el grado absoluto de un polinomio debes saber cómo se calcula el grado de un monomio con 2 o más variables, por lo que si no recuerdas cómo se hacía te recomendamos que antes de seguir le eches un vistazo a nuestra página de las partes de un monomio. En esta página encontrarás la explicación de todas las partes de un monomio y, en concreto, cómo determinar el grado de un monomio multivariable.

A modo de ejemplo, vamos a hallar los grados absoluto y relativos del siguiente polinomio con 3 variables:

 P(x,y,z) = 3x^5y^4 + 6x^3y^2z - 2y^6z^2

En cuanto al grado absoluto del polinomio, su primer monomio es de grado 9, el segundo término del polinomio es de grado 6 y, por último, el tercer elemento del polinomio es de grado 8. Por lo tanto, el grado absoluto del polinomio del problema es 9, ya que es el grado máximo de sus monomios.

 \text{Grado absoluto de } P(x,y,z) = 9

Por otro lado, el grado relativo hace referencia a cada variable individualmente y consiste en el exponente máximo de dicha variable. De modo que el grado máximo de la variable x es 5, el grado relativo de la variable y es 6, y finalmente el grado con relación a la letra z es 2.

 \text{Grado relativo de } x = 5

 \text{Grado relativo de } y = 6

 \text{Grado relativo de } z = 2

Tipos de polinomios según el grado de sus monomios

Algunos polinomios especiales se pueden clasificar según el grado de sus términos:

  • Polinomio ordenado: un polinomio está ordenado si sus monomios están escritos de mayor a menor grado.

 P(x) = x^4 + 4x^3+6x^2 +3

El polinomio anterior está ordenado ya que sus monomios están ordenados por su grado de manera decreciente.

  • Polinomio completo: aquel polinomio que tiene todos los términos de todos los grados desde el monomio de mayor grado hasta el término independiente.

 P(x) = x^5 + 3x^4-5x^3+2x^2 +x+9

Lógicamente, el número de términos de cualquier polinomio completo es igual al grado del polinomio más 1.

  • Polinomio incompleto: polinomio en el que falta algún término de algún grado entre el monomio de mayor grado y el término independiente.

 P(x) = x^5+4x^3-7x+3

  • Polinomio homogéneo: un polinomio es homogéneo cuando todos sus elementos tienen el mismo grado. Por ejemplo, el siguiente polinomio es homogéneo porque todos sus monomios son de grado 7.

 P(x,y) =  6x^3y^4+2x^5y^2 -4x^6y

  • Polinomio heterogéneo: un polinomio es heterogéneo si como mínimo uno de sus términos es de distinto grado que alguno de los otros términos que componen el polinomio.

 P(x,y) =  4x^3+11x^5-6y^5

El polinomio del ejercicio anterior tiene dos monomios con el mismo grado (11x5 y -6y5), pero como 4x3 es de diferente grado se trata de un polinomio heterogéneo.

  • Polinomios idénticos: dos polinomios son idénticos si los coeficientes de los términos con el mismo grado son equivalentes.

 P(x,y) = x^6+3x^4-5x^2

 Q(x,y) = x^6+3x^4-5x^2

  • Polinomio opuesto: dos polinomios son opuestos si sus monomios son exactamente iguales pero con el signo contrario.

 P(x) = x^4+4x^2-3x+1

 Q(x) = -x^4-4x^2+3x-1

4 comentarios en “Grado de un polinomio”

    1. Hola Valentinaester.f, he quitado el email del comentario para evitar que te lleguen correos.

      Si el exponente de una variable es negativo, significa que la variable está en el denominador y, en consecuencia, no se considera un polinomio.

    2. y que pasa si tengo tres factores multiplicándose pero son factores cuadraticos? Se suman los tres exponentes que son de las mismas variables? y sale 6?

    3. Hola Marifer,

      Sí, debes sumar todos los exponentes de las variables que se estén multiplicando. Por ejemplo, el término 3x2y2z2 es de sexto grado porque 2+2+2=6.

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