Polinomio completo

En esta página se explica qué es un polinomio completo y también podrás ver ejemplos de polinomios completos. Además, encontrarás qué significa que un polinomio sea completo y ordenado a la vez. Y, finalmente, analizaremos las diferencias entre los polinomios completos y los polinomios incompletos.

¿Qué es un polinomio completo?

En matemáticas, la definición de un polinomio completo es la siguiente:

Un polinomio completo es aquel polinomio que está formado por todos los términos de todos los grados, es decir, un polinomio completo tiene todos los términos desde el monomio de mayor grado hasta el término independiente.

Por ejemplo, el siguiente polinomio es completo:

Efectivamente, se trata de un polinomio completo porque está compuesto por todos los términos desde el grado tres hasta el grado cero: el monomio x³ es de tercer grado, el término 4x² es de segundo grado, el elemento -5x es de primer grado y, por último, el número 3 es de grado 0.

Por otro lado, un concepto que deberías tener bien claro es cómo se llama el término de grado cero de un polinomio (el número 3 del polinomio anterior), ya que tiene un nombre específico. Si no es el caso, te recomiendo que le eches un vistazo a qué es el término independiente de un polinomio, donde se explica detalladamente.

Ejemplos de polinomios completos

Una vez ya conocemos el concepto de polinomio completo, veamos más ejemplos de este tipo de polinomio:

• Ejemplo de polinomio completo de grado 2:

• Ejemplo de polinomio completo de grado 4:

• Ejemplo de polinomio completo de grado 7:

Aunque es un concepto totalmente diferente, si has llegado hasta aquí seguramente también te interese saber qué es la descomposición polinómica de un número. De hecho, es algo que poca gente conoce pero que en realidad es muy útil.

Polinomio completo y ordenado

Ahora que ya sabemos cuándo un polinomio es completo, vamos a ver qué son los polinomios completos y ordenados.

Recordemos que un polinomio ordenado consiste en un polinomio que tiene todos sus términos ordenados de mayor a menor grado. Por ejemplo, el siguiente polinomio es ordenado:

Por lo tanto, un polinomio completo y ordenado es aquel polinomio que cumple con las propiedades de los polinomios completos y de los polinomios ordenados a la vez. O dicho de otra forma, un polinomio completo y ordenado es un polinomio que tiene todos los monomios de todos los grados y, además, dichos monomios están ordenados de manera decreciente.

Como puedes ver, el polinomio del ejercicio anterior es completo y ordenado ya que tiene todos los términos desde el grado 5 hasta el término independiente y, adicionalmente, todos estos términos están en orden.

Aunque aparentan ser algo muy simple, los polinomios ordenados son más importantes de lo que parecen. Por ejemplo, tanto en las multiplicaciones como en las divisiones de polinomios es imprescindible que los polinomios estén bien ordenados para poder hacer correctamente la operación. Por si no sabes de qué estoy hablando, te dejo estas dos páginas donde se explica cómo multiplicar polinomios y cómo dividir polinomios.

Polinomio completo e incompleto

Finalmente, vamos a analizar en qué se diferencian los polinomios completos y los polinomios incompletos.

Un polinomio incompleto es aquel polinomio que NO tiene todos los monomios de todos los grados, sino que le falta algún término.

Por ejemplo, el siguiente polinomio es incompleto porque no tiene monomio de grado 3 ni tampoco término independiente:

De modo que podríamos decir que un polinomio incompleto es precisamente lo contrario de un polinomio completo.

Saber distinguir entre un polinomio completo y un polinomio incompleto es muy importante para hacer algunas operaciones. Por ejemplo, el procedimiento de la regla de Ruffini cambia según si el polinomio es completo o incompleto. Puedes ver en qué consiste y cómo se aplica el método de Ruffini en nuestra página de Ruffini (ejercicios).