Polinomio mónico

En esta página encontrarás qué es un polinomio mónico junto con ejemplos de polinomios mónicos. También podrás ver las propiedades de este tipo de polinomios y cómo se transforma un polinomio en mónico.

¿Qué es un polinomio mónico?

La definición de polinomio mónico es la siguiente:

En matemáticas, un polinomio mónico es un polinomio de una única variable y cuyo coeficiente principal es igual a 1.

Los polinomios mónicos también se dicen polinomios unitarios o polinomios normados.

Por ejemplo, el siguiente polinomio de grado 2 es mónico porque se trata de un polinomio univariable y su coeficiente principal es 1:

polinomio monico

Evidentemente, para entender el concepto de polinomio mónico debes saber qué es el coeficiente principal de un polinomio. Si no lo tienes claro te recomendamos que le eches un vistazo a la explicación de cuáles son todas las partes de un polinomio, donde, además, podrás ver las otras partes (o elementos) que componen un polinomio junto con ejemplos y ejercicios resueltos para practicar.

Ejemplos de polinomios mónicos

Una vez hemos visto qué significa que un polinomio sea mónico, veamos varios ejemplos de este tipo de polinomios:

Ejemplo de polinomio mónico de segundo grado:

 P(x)=x^2-6x-4

Ejemplo de polinomio mónico de tercer grado:

 P(x)=x^3+4x^2+x+10

Ejemplo de polinomio mónico de cuarto grado:

 P(x)=x^4+5x+6

Cómo transformar cualquier polinomio en mónico

Ahora que ya conocemos el significado de polinomio mónico, vamos a ver cómo convertir un polinomio en mónico, o dicho de otra forma, cómo «monizar» un polinomio. A este proceso también se le llama normalizar un polinomio.

Así pues, vamos a resolver un ejercicio paso a paso para ver cómo se hace:

 P(x)=4x^5+3x^4-8x^2+2x-12

Para normalizar el polinomio tenemos que dividir todos los elementos que forman el polinomio entre el coeficiente del término de mayor grado del polinomio. En este caso, el coeficiente del término de mayor grado es 4, por lo tanto:

 \begin{aligned} \cfrac{P(x)}{4} & =\cfrac{4x^5}{4}+\cfrac{3x^4}{4}-\cfrac{8x^2}{4}+\cfrac{2x}{4}-\cfrac{12}{4} \\[2ex] & = \cfrac{4}{4}x^5+\cfrac{3}{4}x^4-\cfrac{8}{4}x^2+\cfrac{2}{4}x-\cfrac{12}{4} \end{aligned}

Ahora simplificamos las fracciones del polinomio:

1x^5+\cfrac{3}{4}x^4-2x^2+\cfrac{1}{2}x-3

x^5+\cfrac{3}{4}x^4-2x^2+\cfrac{1}{2}x-3

Y de esta manera ya hemos convertido el polinomio del problema en un polinomio mónico.

Propiedades de los polinomios mónicos

Los polinomios mónicos cumplen con las siguientes características:

  • El producto de un polinomio mónico por otro polinomio mónico siempre da como resultado un polinomio mónico.

Esto es debido a las propiedades de la multiplicación de polinomios. En la página enlazada no solo se explica cómo se multiplican los polinomios, sino que además encontrarás por qué sucede esto con las propiedades del producto de polinomios.

  • Si un polinomio mónico está compuesto solamente por coeficientes enteros, las raíces de dicho polinomio mónico serán enteras.

Las raíces (o ceros) de un polinomio son unos números que definen a un polinomio, por lo tanto, se trata de un concepto muy importante. Si no sabes qué son o cómo se calculan, puedes visitar nuestra página de ejercicios resueltos de raíces de un polinomio en la que explicamos en qué consisten las raíces de un polinomio, cómo hallarlas e, incluso, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso.

  • Aunque el coeficiente de un polinomio multivariable sea la unidad, este nunca se considera un polinomio mónico precisamente porque tiene más de una variable.

4 comentarios en “Polinomio mónico”

    1. Hola Miguel, puedes ver cómo se resuelven todos los tipos de ecuaciones en nuestra página hermana ejerciciosecuaciones.com.

  1. Una pregunta sabes si los polinomios monicos tienen alguna propiedad de que se pueden colocar al revés para resolverlo algo asi le escuche a un profesor pero la verdad no estoy muy seguro

    1. Hola Lucas, no sé exactamente a qué te refieres, pero ten en cuenta que el orden de los términos de un polinomio es indiferente. Como la suma tiene la propiedad conmutativa, el orden de los términos no afecta al resultado. Por lo tanto, el orden de los monomios en un polinomio no afectará a su valor.

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