Binomio a la cuarta

En esta página encontrarás cuál es la fórmula de un binomio a la cuarta, y explicamos cómo se resuelve este tipo de operación binomial con ejemplos. Además, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de binomios a la cuarta.

Fórmula del binomio a la cuarta

En matemáticas, un binomio a la cuarta potencia es un polinomio formado por dos términos que está elevado a la 4.

Así pues, la fórmula que sirve para calcular un binomio a la cuarta es la siguiente:

 (a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

Esta fórmula se puede deducir a partir de la fórmula general del binomio de Newton. De hecho, con el binomio de Newton se pueden calcular binomios elevados a cualquier potencia, así que en realidad es mejor aprenderse la fórmula del binomio de Newton. Haz click en el enlace anterior y descubre cómo es esta fórmula.

Por lo tanto, un binomio a la cuarta es igual al primer término elevado a la cuarta, más el producto de 4 por el primer término elevado al cubo por el segundo término, más el primer y el segundo término elevados al cuadrado multiplicados por 6, más el producto de 4 por el primer término por el segundo término elevado a la 3, más el segundo término elevado a la cuarta.

Esta fórmula corresponde al binomio suma (sus dos elementos son positivos), pero en la fórmula del binomio resta elevado a la cuarta los signos del segundo y del cuarto producto son negativos:

 (a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4

Ejemplos de binomios a la cuarta

Vista la fórmula de este tipo de binomios, vamos a ver varios ejemplos de cómo resolver un binomio a la cuarta. En primer lugar calcularemos un binomio positivo y luego solucionaremos un binomio negativo.

Ejemplo 1

  • Calcula el siguiente binomio elevado a la cuarta:

(x+2)^4

La fórmula de la potencia de un binomio suma elevado a la 4 es:

 (a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

De forma que para calcular el binomio del ejercicio simplemente tenemos que sustituir las dos cantidades del binomio en la fórmula:

 (x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4

Y finalmente resolvemos las operaciones:

 \begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}

Ejemplo 2

  • Halla el siguiente binomio elevado a la cuarta:

(x-3)^4

La fórmula de la potenciación de un binomio diferencia elevado a la 4 es la siguiente:

 (a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4

Por lo que para determinar el binomio del problema solamente debemos sustituir las variables de la fórmula por los valores del binomio:

 (x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4

Y, por último, resolvemos las operaciones resultantes:

 \begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}

Demostración de la fórmula de un binomio a la cuarta

Para profundizar en el concepto de un binomio elevado a la cuarta, vamos a demostrar su fórmula de varias maneras.

Partiendo de un binomio cualquiera elevado a 4:

 (a+b)^4

La expresión algebraica de un binomio a la cuarta se puede factorizar haciendo su desarrollo en factores primos:

 (a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)

Entonces, resolviendo cada producto de polinomios llegamos a la fórmula del binomio elevado ala cuarta:

 \begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}

Por otro lado, también se puede verificar la fórmula de un binomio a la cuarta mediante la fórmula de un binomio al cubo:

 \begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}

Asimismo, se puede conseguir la demostración mediante los productos notables (o identidades notables). Por ejemplo, utilizando la fórmula del producto notable del cuadrado de una suma:

 \begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex]  & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}

Respectivamente, la fórmula de la identidad notable del cuadrado de una resta sirve para corroborar la fórmula de un binomio resta:

 \begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex]  & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}

Ejercicios resueltos de binomios a la cuarta

Resuelve las siguientes potencias de binomios elevados a la cuarta:

 \text{A)} \ (x+1)^4

 \text{B)} \ (2x+3)^4

 \text{C)} \ (x-4)^4

 \text{D)} \ (x^2+y)^4

 \text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex]  & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex]  & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}

 

 \text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex]  & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex]  & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}

 

 \text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex]  & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}

 

 \text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex]  & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}

 

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