Diferencia (o resta) de cubos

En esta página explicamos cómo factorizar una diferencia de cubos (fórmula). Además, podrás ver varios ejemplos e, incluso, practicar con ejercicios resueltos paso a paso.

¿Qué es la diferencia de cubos?

En matemáticas, la diferencia (o resta) de cubos es un binomio (polinomio con solamente dos monomios) formado por un término positivo y un término negativo cuyas raíces cúbicas son exactas. Es decir, la expresión algebraica de una diferencia de cubos es a3-b3.

Asimismo, la diferencia de cubos perfectos corresponde a un producto notable. Por si no sabes qué son, te dejamos esta página donde se explica cuáles son los productos notables, cómo se calculan y para qué sirven.

Fórmula de la diferencia de cubos

Vista la definición de la diferencia o resta de cubos, vamos a ver cuál es la fórmula de este tipo de igualdad notable:

formula de la diferencia o resta de cubos

Por lo tanto, la resta de dos términos elevados al cubo es igual a la diferencia de esos dos términos multiplicados por el cuadrado del primer término, más el producto de las dos cantidades, más el cuadrado del segundo término.

De modo que al aplicar la fórmula de la diferencia de cubos realmente lo que estamos haciendo es factorizar un polinomio de grado 3, porque estamos transformando un polinomio en un producto de dos factores. Haz click en el enlace anterior para saber más sobre la factorización de polinomios.

Ejemplos de diferencias de cubos

Para acabar de entender el concepto de la diferencia de cubos perfectos, vamos a ver varios ejemplos de cómo factorizar las restas de cubos mediante su fórmula:

Ejemplo 1

  • Factoriza la siguiente diferencia de cubos utilizando la fórmula:

 x^3-8

Efectivamente, se trata de una diferencia de cubos porque la raíz cúbica del monomio x^3 es exacta (no da un número decimal) y la del número 8 también:

 \sqrt[3]{x^3} = x

 \sqrt[3]{8} = 2

 x^3-8=x^3-2^3

De manera que podemos emplear la fórmula de la diferencia de cubos perfectos para transformar la expresión cúbica en un producto de un binomio por un trinomio:

 a^3-b^3  = (a-b)(a^2+ab+b^2)

 x^3 -2^3 = (x-2)(x^2+x \cdot 2 + 2^2)

Y ahora solo nos queda hacer la multiplicación y la potencia:

 x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x + 4)

A partir de la expresión obtenida se puede determinar fácilmente que x=2 es una raíz del polinomio. Es importante comprender bien este concepto, de modo que si no lo tienes del todo claro te recomiendo que veas cómo sacar la raíz de un polinomio.

Ejemplo 2

  • Factoriza el siguiente binomio negativo utilizando la fórmula de la resta de cubos perfectos.

 8x^3-1

El binomio de este problema también consiste en una diferencia de cubos, ya que tanto la raíz cúbica del monomio 8x^3 como del término independiente 1 son exactas:

 \sqrt[3]{8x^3} = 2x

 \sqrt[3]{1} = 1

 8x^3-1 =(2x)^3-1^3

Por lo que podemos aplicar la fórmula de la resta de cubos perfectos para simplificar la expresión polinómica:

 a^3-b^3  = (a-b)(a^2+ab+b^2)

 (2x)^3-1^3 = (2x-1)\bigl((2x)^2+2x \cdot 1 + 1^2\bigr)

Y, por último, solamente nos falta calcular las operaciones resultantes:

 (2x)^3-1^3 = (2x-1)(4x^2+2x + 1\bigr)

Aunque parecen conceptos similares, no se debe confundir la diferencia de cubos con un binomio al cubo, ya que esta última es una identidad notable diferente (y más importante). Te dejamos este enlace para que veas cuál es la fórmula del binomio al cubo y cuáles son las diferencias entre estas dos identidades notables.

Ejercicios resueltos de diferencia de cubos

Para que acabes de entender completamente cómo se resuelve una diferencia de cubos, te hemos preparado varios ejercicios resueltos paso a paso. Recuerda que puedes preguntarnos cualquier duda que tengas en el apartado de comentarios (abajo).⬇⬇

Ejercicio 1

Factoriza la siguiente diferencia de cubos mediante su fórmula:

 x^6-27x^3

La expresión corresponde a una diferencia de cubos porque las raíces cúbicas de los dos elementos del polinomios son exactas:

 \sqrt[3]{x^6} = x^2

 \sqrt[3]{27x^3} = 3x

 x^6-27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3

En consecuencia, podemos emplear la fórmula de la diferencia de cubos perfectos para factorizar la expresión cúbica en una multiplicación de un binomio por un trinomio:

 a^3-b^3  = (a-b)(a^2+ab+b^2)

 \bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3 = \left(x^2-3x\right)\left( \left(x^2\right)^2+x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)

Con lo que resolvemos todas las operaciones y hallamos así el polinomio factorizado:

 \bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3 = \left(x^2-3x\right)\left( x^4+3x^3 + 9x^2\right)

 

Ejercicio 2

Expresa cada producto como una diferencia de cubos:

 \text{A)} \ (x-5)(x^2+5x+25)

 \text{B)} \ (2x-7)(4x^2+14x+49)

 \text{C)} \ (8x-y^2)(64x^2+8xy^2+y^4)

Las expresiones de los 3 ejercicios cumplen con la fórmula de la diferencia (o resta) de cubos perfectos, así que simplemente tenemos que resolver las multiplicaciones de polinomios:

 \text{A)} \ \begin{array}{l}(x-5)(x^2+5x+25) = \\[2ex] = x^3+5x^2+25x-5x^2-25x-125 = \\[2ex] = x^3 -125\end{array}

 

 \text{B)} \ \begin{array}{l}(2x-7)(4x^2+14x+49) = \\[2ex] =  8x^3+28x^2+98x-28x^2-98x-343 = \\[2ex]  = 8x^3-343\end{array}

 

 \text{C)} \ \begin{array}{l}(8x-y^2)(64x^2+8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3+64x^2y^2+8xy^4-64x^2y^2-8xy^4-y^6= \\[2ex] = 512x^3-y^6\end{array}

 

👉👉👉 Finalmente, puede que también te interese saber cómo se calcula una resta de cuadrados. Se trata de otra identidad notable parecida a la que acabamos de estudiar (pero se utiliza mucho más). Descubre cuáles son las diferencias entre estas dos identidades notables haciendo click en el enlace.

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