Polinomio homogéneo

En esta página se explica qué son los polinomios homogéneos. También podrás ver ejemplos de polinomios homogéneos y las propiedades de este tipo de polinomios. Y, además, encontrarás cuál es la diferencia de los polinomios homogéneos con los polinomios heterogéneos.

¿Qué es un polinomio homogéneo?

La definición de un polinomio homogéneo es la siguiente:

En matemáticas, un polinomio homogéneo es aquel polinomio el cual todos sus términos son del mismo grado.

Un ejemplo de polinomio homogéneo sería:

P(x,y,z)=x^3+5x^2y-4xyz

En este caso, se trata de un polinomio homogéneo de grado 3, ya que todos los monomios que forman parte del polinomio son de tercer grado.

Si tienes dudas de cómo se calcula el grado de un término de un polinomio homogéneo puedes consultar nuestra página de cuáles son las partes de un monomio, donde no solo encontrarás cómo hallar el grado de un monomio, sino también la explicación de todas partes de un monomio y cómo identificarlas. Además, podrás ver ejemplos y practicar con ejercicios resueltos paso a paso.

Ejemplos de polinomios homogéneos

Una vez hemos visto qué significa que un polinomio sea homogéneo, veamos unos cuantos ejemplos de polinomios homogéneos para acabar de entender el concepto:

  • Ejemplo de polinomio homogéneo de grado 5:

P(x,y)=x^5+3x^2y^3-6x^4y+10xy^4

  • Ejemplo de polinomio homogéneo de grado 7:

P(x,y,z)=x^3y^4+2x^5y^2+4x^2y^2z^3-x^2y^4z

  • Ejemplo de polinomio homogéneo de grado 13:

P(a,b,c)=7a^6b^4c^3+2a^8b^3c^2+5a^4b^8c

Polinomio homogéneo y polinomio heterogéneo

Cabe destacar que otro polinomio muy similar al polinomio homogéneo es el polinomio heterogéneo, aunque existe una diferencia fundamental entre ellos:

Un polinomio heterogéneo es un polinomio en el que no todos sus términos tienen el mismo grado.

Por lo tanto, solo que un monomio del polinomio tenga un grado distinto que el resto de elementos, dicho polinomio será heterogéneo.

Por ejemplo, el siguiente polinomio es heterogéneo:

P(x,y)=x^4+2x^3y+8x^2

Aunque dos de los términos del polinomio son de grado 4 (x4, 2x3y), efectivamente consiste en un polinomio heterogéneo porque tiene otro término cuyo grado es diferente (8x2 es de grado 2).

Como puedes ver, los polinomios homogéneos y heterogéneos son muy similares entre sí y son fácilmente confundibles, así que debemos prestar atención.

Propiedades de los polinomios homogéneos

Los polinomios homogéneos tienen las siguientes características

  • Se puede calcular el número de diferentes monomios homogéneos de grado M en un polinomio de N variables mediante la siguiente fórmula:

\cfrac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}

Puede que el signo «!» te parezca extraño que se utilice en álgebra. Pues bien, debes saber que se pone para indicar una operación matemática especial, que se llama factorial de un número. Puedes ver en qué consiste esta operación y para qué se usa en el enlace anterior.

  • La expresión de la serie de Taylor que corresponde a un polinomio homogéneo ampliado al punto x es la siguiente:

P(x+y)= \sum_{j=0}^n {n \choose j} \check{P} (\underbrace{x,x,\dots ,x}_{j} & \underbrace{y,y,\dots ,y}_{n-j})

Sin embargo, para poder aplicar (y entender) esta propiedad debes saber cómo se calcula la expresión \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} , llamada número combinatorio. Por lo que si no entiendes la propiedad anterior te recomiendo que veas cuál es la fórmula del número combinatorio.

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