Suma de cubos

En esta página encontrarás la fórmula de la suma de cubos y la explicación de cómo se factorizan las sumas de cubos. Además, podrás ver varios ejemplos y ejercicios resueltos de sumas de cubos.

¿Qué es la suma de cubos?

La suma de cubos es un binomio (polinomio con solo dos monomios) cuyos dos términos son positivos y, además, sus raíces cúbicas son exactas. Por lo tanto, la expresión algebraica de una suma de cubos es a3+b3.

Además, la suma de cubos perfectos corresponde a un producto notable (o identidad notable), lo que significa que existe una fórmula para resolverlo directamente sin hacer muchos cálculos. A continuación vamos a ver cómo se hace.

Fórmula de la suma de cubos

Una vez hemos visto la definición matemática de la suma de cubos, veamos ahora cuál es la fórmula de la suma de cubos:

formula de la suma de cubos

De manera que la suma de dos términos elevados al cubo es igual a la suma de esos dos términos multiplicados por el cuadrado del primer término, menos el producto de las dos cantidades, más el cuadrado del segundo término.

Por tanto, al aplicar la fórmula de la suma de cubos perfectos en realidad estamos factorizando un polinomio, ya que convertimos la expresión de un polinomio en un producto de dos factores. Si aún no sabes qué significa factorizar un polinomio, te recomendamos que antes de seguir veas cómo factorizar polinomios.

Ejemplos de factorizaciones de sumas de cubos

Para acabar de entender el concepto de la suma de cubos perfectos, vamos a ver varios ejemplos de cómo factorizar las sumas de cubos mediante la fórmula:

Ejemplo 1

  • Factoriza la siguiente suma de cubos utilizando la fórmula:

 x^3+8

Efectivamente, se trata de una suma de cubos porque la raíz cúbica del monomio x^3 es exacta (no da un número decimal) y la del número 8 también:

 \sqrt[3]{x^3} = x

 \sqrt[3]{8} = 2

 x^3+8=x^3+2^3

Por tanto, podemos aplicar la fórmula de la suma de cubos para transformar la expresión cúbica en un producto de un binomio por un trinomio:

 a^3+b^3  = (a+b)(a^2-ab+b^2)

 x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-x \cdot 2 + 2^2)

Y, finalmente, solo nos queda resolver la multiplicación y la potencia:

 x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-2x + 4)

Si nos fijamos bien en la expresión obtenida, gracias a la fórmula de la suma de cubos podemos fácilmente encontrar la raíz de un polinomio. En este caso una de las raíces del polinomio sería x=-2. Sin embargo, para hallar todas las raíces (o ceros) de un polinomio se debe seguir un procedimiento más complicado, descubre cómo se hace en la página enlazada.

Ejemplo 2

  • Factoriza el siguiente binomio aplicando la fórmula de la suma de cubos perfectos.

 8x^3+1

El polinomio de este ejemplo también consiste en una suma de cubos porque tanto la raíz cúbica del monomio 8x^3 como del término independiente 1 son exactas:

 \sqrt[3]{8x^3} = 2x

 \sqrt[3]{1} = 1

 8x^3+1 =(2x)^3+1^3

Así que podemos utilizar la fórmula de la suma de cubos perfectos para simplificar la expresión:

 a^3+b^3  = (a+b)(a^2-ab+b^2)

 (2x)^3+1^3 = (2x+1)\bigl((2x)^2-2x \cdot 1 + 1^2\bigr)

Por último, solamente nos falta calcular las operaciones resultantes:

 (2x)^3+1^3 = (2x+1)(4x^2-2x + 1\bigr)

Ahora que ya has visto cómo se resuelve una suma de cubos, seguramente te interese saber cómo se factoriza una diferencia de cubos. Porque aunque la fórmula de la diferencia de cubos es similar, tiene un pequeño cambio que nos permite distinguir entre una suma y una diferencia de cubos. Te dejamos este enlace para que veas cuál es este significante cambio y cómo se calcula una resta de cubos.

Ejercicios resueltos de sumas de cubos

Ejercicio 1

Factoriza la siguiente adición de cubos con la fórmula:

 x^6+27x^3

La expresión corresponde a una suma de cubos porque las raíces cúbicas de los dos elementos del polinomios son exactas:

 \sqrt[3]{x^6} = x^2

 \sqrt[3]{27x^3} = 3x

 x^6+27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3

En consecuencia, podemos emplear la fórmula de la suma de cubos perfectos para factorizar la expresión cúbica en un producto de un binomio por un trinomio:

 a^3+b^3  = (a+b)(a^2-ab+b^2)

 \bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( \left(x^2\right)^2-x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)

Con lo que resolvemos todas las operaciones para hallar el polinomio factorizado:

 \bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( x^4-3x^3 + 9x^2\right)

 

Ejercicio 2

Expresa cada producto como una suma de cubos:

 \text{A)} \ (x+5)(x^2-5x+25)

 \text{B)} \ (2x+7)(4x^2-14x+49)

 \text{C)} \ (8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4)

Las expresiones de los 3 ejercicios cumplen con la fórmula de la suma de cubos, así que simplemente tenemos que resolver las multiplicaciones de polinomios:

 \text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x^2-5x+25) = \\[2ex] = x^3-5x^2+25x+5x^2-25x+125 = \\[2ex] = x^3 +125\end{array}

 

 \text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+7)(4x^2-14x+49) = \\[2ex] =  8x^3-28x^2+98x+28x^2-98x+343 = \\[2ex]  = 8x^3+343\end{array}

 

 \text{C)} \ \begin{array}{l}(8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3-64x^2y^2+8xy^4+64x^2y^2-8xy^4+y^6= \\[2ex] = 512x^3+y^6\end{array}

 

Por si estás más [email protected] en la identidades notables, debes saber que hay una de la que mucha gente se olvida (y se utiliza bastante). Pero es importante que recuerdes la fórmula de esta identidad notable, llamada trinomio al cuadrado. Por eso te dejamos este enlace donde podrás ver cuál es y cómo se aplica esta fórmula.

2 comentarios en “Suma de cubos”

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